A C. 1115. feladat (2012. március)

C. 1115. Mutassuk meg, hogy minden n természetes szám esetén az

n²(n²-1)(n²-n-2)

osztható 48-cal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle n^2 (n^2 -1)(n^2-n-2)=n^2 (n-1)(n+1)(n-2)(n+1)\) szorzat négy egymást követő egész szám szorzatát tartalmazza,ezért e négy szám közül biztos, hogy kettő páros, sőt az egyik osztható 4-gyel, ezért a szorzat osztható 8-cal, másrészről a négy szám közül legalább egy osztható 3-mal: a négy szám szorzata osztható 24-gyel. Ezen felül a szorzat két további tényezője \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\), melyek közül az egyik páros, tehát biztos, hogy a szorzat \(\displaystyle 24\cdot 2=48\)-cal osztható.

Statisztika:

237 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	184 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai