A C. 1139. feladat (2012. október)

C. 1139. Legalább mekkora átfogójú az a derékszögű háromszög, amelynek kerülete k?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Minimum és maximumérték sokszor szokott lenni egyenlő szárú háromszög esetén, nézzük meg ezt most is. Legyen a szárak hossza \(\displaystyle a\) (így nyilván \(\displaystyle a>0\)), ekkor az átfogó \(\displaystyle \sqrt2a\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=(2+\sqrt2)a.\)

Növeljük az egyik befogót \(\displaystyle x\)-szel, a másikat pedig csökkentsük \(\displaystyle y\)-nal (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y>0\)), és nézzük meg, változatlan kerület mellett hogyan változik az átfogó.

Ha a két befogó \(\displaystyle a-x\), illetve \(\displaystyle a+y\), akkor \(\displaystyle k\) kerület mellett az átfogó \(\displaystyle (2+\sqrt2)a-(a-x)-(a+y)=\sqrt2a+x-y\).

Azt szeretnénk belátni, hogy \(\displaystyle x>y\), hiszen ekkor az átfogó nagyobb, mint az egyenlő szárú háromszög esetén.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt, majd rendezzük a kapott egyenletet:

\(\displaystyle (a-x)^2+(a+y)^2=(\sqrt2 a+x-y)^2,\)

\(\displaystyle a^2-2ax+x^2+a^2+2ay+y^2=2a^2+x^2+y^2+2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle -2ax+2ay=2\sqrt2ax-2\sqrt2ay-2xy,\)

\(\displaystyle 0=ax(2+2\sqrt2)-ay(2+2\sqrt2)-2xy,\)

\(\displaystyle 0=a(2+2\sqrt2)(x-y)-2xy.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitívak, ezért a jobb oldal csak úgy lehet 0, ha \(\displaystyle x-y>0\), vagyis \(\displaystyle x>y\).

Ezzel beláttuk, hogy egyenlő szárú háromszög esetén a legkisebb az átfogó.

Ha az átfogó \(\displaystyle c\), akkor a befogó \(\displaystyle c/\sqrt2\), a kerület pedig: \(\displaystyle k=c(1+2/\sqrt2)=c(1+\sqrt2)\), ahonnan

\(\displaystyle c=\frac{k}{\sqrt2+1}.\)

Statisztika:

264 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	71 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai