A C. 1170. feladat (2013. május)

C. 1170. Ágnes és Péter testvérek. Mivel születésnapjuk március 25-e, illetve február 9-e, így egy olyan egész együtthatós harmadfokú függvényt szeretnének készíteni, amelyre f(9)=2 és f(25)=3. Van ilyen függvény?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) egész számok. Tudjuk, hogy \(\displaystyle x_1=9\), \(\displaystyle x_2=25\). Ekkor

\(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=(ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d)-(ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d)=\)

\(\displaystyle =(x_2-x_1)[a(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)+b(x_2+x_1)+c].\)

Láthatóan a második tényező egész szám. A feltételek alapján \(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=3-2=1\), aminek oszthatónak kellene lenni \(\displaystyle (x_2-x_1)\)-gyel. Mivel \(\displaystyle x_2-x_1=16\), ezért ez lehetetlen.

Ilyen függvény tehát nem létezik.

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai