A C. 1171. feladat (2013. május)

C. 1171. Egy trapéz 7 cm-es átlója a másik átlót 4,5 cm és 6 cm hosszú darabokra osztja, a rövidebbik szára pedig 5 cm-es. Mekkora a trapéz területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle AB||DC\) és \(\displaystyle AE\), \(\displaystyle EC\), illetve \(\displaystyle BE\), \(\displaystyle ED\) pedig egy egyenesre illeszkednek, azért \(\displaystyle ABE_{\triangle}\sim CDE_{\triangle}\), és így \(\displaystyle \frac{BE}{ED}=\frac{4,5}{6}\), amiből \(\displaystyle BE=7-ED\) felhasználásával \(\displaystyle BE=3\) és \(\displaystyle ED=4\) következik.

Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle AED\) és a \(\displaystyle BEC\) háromszögre:

\(\displaystyle AD^2=4,5^2+4^2-2\cdot4,5\cdot4\cdot\cos\alpha,~~BC^2=3^2+6^2-2\cdot3\cdot6\cdot\cos\alpha;\)

\(\displaystyle AD^2=36,25-36\cos\alpha,~~BC^2=45-36\cos\alpha.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle AD<BC\), ahonnan \(\displaystyle AD=5\). Vagyis \(\displaystyle 5^2=36,25-36\cos\alpha\), amiből \(\displaystyle \cos\alpha=0,3125\). Mivel \(\displaystyle 0<\alpha<180^{\circ}\), így \(\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{1-0,3125^2}\).

A trapéz területe:

\(\displaystyle T=\frac{AC\cdot BD\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{(4,5+6)\cdot7\cdot\sqrt{1-0,3125^2}}{2}\approx34,91 {\rm{~cm}}^2.\)

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Berta Dénes, Borbényi Márton, Büki Máté, Csikós Endre, Demeter Dániel, Fülep Andrea , Gnandt Balázs, Gyurcsik Dóra, Horeftos Leon, Kovács-Deák Máté, Köte Ákos, Németh Klára Anna, Radnai Bálint, Schrettner Bálint, Széles Katalin, Telek Máté László, Tóth Adrián, Tóth Zsófia, Vágó Ákos, Varga 149 Imre Károly, Varga Rudolf, Várkonyi Dorka, Williams Kada, Zsakó Ágnes, Zsiros Ádám.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai