A C. 1175. feladat (2013. szeptember)

C. 1175. A valós számok halmazán értelmezzük a következő módon a $\therefore$ műveletet:

$a\therefore b=(a-2)(b-2).$

Asszociatív-e ez a művelet?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás: Nézzük az $\displaystyle (a\therefore b)\therefore c$ és az $\displaystyle a\therefore (b\therefore c)$ kifejezéseket. A művelet definíciója szerint ezek így írhatók:

$\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=[(a-2)(b-2)-2]\cdot(c-2)=$

$\displaystyle =[ab-2a-2b+2](c-2)=abc-2ac-2bc+2c-2ab+4a+4b-4;$

$\displaystyle a\therefore (b\therefore c)=(a-2)\cdot[(b-2)(c-2)-2]=$

$\displaystyle =(a-2)[bc-2b-2c+2]=abc-2ac-2bc+4c-2ab+2a+4b-4.$

Látható, hogy a két kifejezés nem azonos, csak $\displaystyle a=c$ esetén igaz az egyenlőség. Vagyis a $\displaystyle \therefore$ műveletet nem asszociatív.

2. megoldás: Ha találunk olyan $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számhármast, melyre nem teljesül, hogy $\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=a\therefore (b\therefore c)$, akkor a művelet nem asszociatív.

Tekintsük az $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle c=3$ esetet:

$\displaystyle (1\therefore 2)\therefore 3=((1-2)(2-2))\therefore 3=0\therefore 3=(0-2)(3-2)=-2,$

$\displaystyle 1\therefore (2\therefore 3)=1\therefore ((2-2)(3-2))=1\therefore 0=(1-2)(0-2)=2.$

Mivel $\displaystyle -2\neq2$, ezért a művelet nem asszociatív.

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 124 versenyző.

4 pontot kapott: 13 versenyző.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 5 versenyző.

1 pontot kapott: 39 versenyző.

0 pontot kapott: 20 versenyző.

Nem versenyszerű: 5 dolgozat.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai

209 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	124 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	39 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?