 |
A C. 1177. feladat (2013. szeptember) |
C. 1177. Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az négyzetszám?
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Ha n=1, akkor az összeg 1, ami négyzetszám. Ha n=2, akkor az összeg 7, ami nem négyzetszám. Ha pedig n
3, akkor az összegben az 5!, a 7! és a többi tag egyik tényezője 4, vagyis a harmadik tagtól kezdve minden tag osztható 4-gyel. Így az összeg 4-gyel való osztási maradéka 1!+3!=7 osztási maradéka, ami 3. Viszont egy páratlan négyzetszám 4-gyel osztva 1 maradékot ad: (2k+1)2=4k2+4k+1.
Vagyis kérdéses összeg csak n=1 esetén lesz négyzetszám.
2. megoldás. Ha n=1, akkor a kifejezés értéke 1!=1, vagyis négyzetszám. Ha n=2, akkor a kifejezés értéke 1!+3!=7, ami nem négyzetszám. Ha n>2, akkor a (2n-1)! utolsó jegye 0, vagyis az 1!+3!+...+(2n+1)! utolsó jegye ekkor mindig 7 lesz. A négyzetszámok végződései: 0, 1, 4, 9, 6, 5. Vagyis nem lehet négyzetszám. Az egyedüli megoldás, ha n=1.
Statisztika:
300 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 173 versenyző. 4 pontot kapott: 81 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai