 |
A C. 1187. feladat (2013. október) |
C. 1187. Vágjunk ketté egy paralelogrammát a rövidebbik átlójával két háromszögre. Rajzoljuk meg az egyik háromszög beírt körét, illetve a másik háromszögnek azt a hozzáírt körét, mely érinti az átlót. Bizonyítsuk be, hogy az a négy érintési pont, mely nem az átlóra esik, egy egyenesen van.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Betűzzük a paralelogramma csúcsait és a két kör érintési pontait az ábra szerint. Legyen AB=CD=c, BC=DA=b és BD=a, és legyen s=(a+b+c)/2.
Az ABD háromszög oldalainak hossza a, b és c, tehát a csúcsok és a beírt kör érintési pontja közötti távolságok: AG=AH=s-a, BH=BE1=s-b és DG=DE1=s-c.
A CDB háromszög oldalainak hossza is a, b és c. A csúcsok és a BD oldalhoz hozzáírt kör érintési pontjai közötti távolságok: CF=CI=s, BI=BE2=s-b és DF=DE2=s-c.
Az AHG, BHI és DFG háromszögek egyenlő szárúak: AH=AG=s-a, BH=BI=s-b és DF=DG=s-c. Továbbá a három háromszög szárszöge ugyanakkora. Az AHG, BHI és DFG háromszögek tehát hasonlók. Ezért AHG
=BHI, vagyis I a GH egyenesre esik; és ugyanígy HGA=FGD, tehát F is a GH egyenesre esik.
Megjegyzés. Mivel BE1=BE2, a két kör ugyanabban a pontban érinti a BD szakaszt.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Németh Klára Anna, Porupsánszki István, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szőke Tamás, Zsiros Ádám. 4 pontot kapott: Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Temesvári Fanni. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai