 |
A C. 1198. feladat (2013. december) |
C. 1198. Oldjuk meg az
x2+y2+1=xy+x+y
kétismeretlenes egyenletet.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Rendezzük 0-ra az egyenletet:
\(\displaystyle x^2-x+y^2-y+1-xy=0.\)
Szorozzuk be 2-vel:
\(\displaystyle 2x^2-2x+2y^2-2y+2-2xy=0.\)
Csoportosítsuk a tagokat:
\(\displaystyle (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(x^2-2xy+y^2)=0,\)
amiből
\(\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2=0.\)
Ez pontosan akkor 0, ha minden tagja 0, vagyis \(\displaystyle (x-1)^2=0\), \(\displaystyle (y-1)^2=0\) és \(\displaystyle (x-y)^2=0\), vagyis \(\displaystyle x=y=1\).
Megjegyzés: Ha valakinek nincs egyéb ötlete, és a másodfokú egyenlet megoldóképletével próbálkozik, akkor pl. \(\displaystyle y\)-ra ezt kapja:
\(\displaystyle y_{1,2}=\frac{x+1\pm\sqrt{-3(x-1)^2}}{2}.\)
Mivel a gyökjel alatt nem állhat negatív szám, és \(\displaystyle (x-1)^2\geq0\), ezért az egyetlen lehetséges megoldás az, ha \(\displaystyle x-1=0\). Ekkor \(\displaystyle x=y=1\).
Statisztika:
219 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 148 versenyző. 4 pontot kapott: 29 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 14 dolgozat.
A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai