A C. 1212. feladat (2014. február)

C. 1212. Igazoljuk, hogy .

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a 10 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 2\cdot5\), ezért azt kell belátni, hogy az összeg osztható 2-vel és 5-tel.

Az első tag osztható 2-vel, a második és a harmadik tag pedig páratlan (mivel egy páratlan szám összes hatványa is az), így az összegük páros. Tehát az összeg is páros.

A harmadik tag osztható 5-tel. Az első tag: \(\displaystyle 2\cdot2^{5^3}=2\cdot2\cdot2^{5^3-1}=4\cdot2^{124}=4\cdot4^{62}= 4^{63}\). Mivel a 4-hatványok végződései rendre 4, 6, 4, 6, ..., ezért a 4 bármely páratlanadik hatványa 4-re végződik, és ezért 5-tel osztva 4 maradékot ad. A második tag: \(\displaystyle 3^{2^5}=3^{2\cdot2^4}=(3^2)^{2^4}=9^{16}=9^{2\cdot8}=81^8\). Egy \(\displaystyle 10k+1\) alakú szám bármely hatványa 1-re végződik, és így az 5-tel való osztási maradéka is 1. Tehát az első és a második tag összege 5-tel osztva (4+1)-et ad maradékul, vagy osztható 5-tel, és így maga az összeg is 5-tel osztható szám.

Tehát az összeg osztható 2-vel és 5-tel, és így 10-zel is.

Statisztika:

213 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	134 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	61 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai