A C. 1235. feladat (2014. május)

C. 1235. Vir Ági kertészetében anyák napjára tulipánt termesztenek. Az egyik tulipánágyásban 53 sorban 38-38 virág van. Minden második cirmos, minden tizenkilencedik egy kicsit tépett szirmú és végül minden 53. még nem teljesen nyílt ki, ha végigsétálunk az elsőtől az utolsóig soronként. Ági észrevette, hogy ha a tökéletes szépségű (nem cirmos, nem tépett szirmú és teljesen kinyílt) tulipánok sorszámát összeadja, akkor a kapott érték a bevételük tizenkilencszerese. Hány forintért adják a szép tulipánok tucatját?

Javasolta: Meszlényiné Róka Ágnes (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kérdéses sorszámok összege:

\(\displaystyle (1+3+...+2013)-(53+3\cdot53+5\cdot53+...+37\cdot53)-(19+3\cdot19+...+105\cdot19)+19\cdot53=S.\)

Magyarázat: Csak a páratlan sorszámúak lehetnek tökéletes szépségűek. Viszont minden 19. és minden 53. tulipán sem tökéletes, így ezeket (az olyan páratlan számokat, amik 19, illetve 53 többszörösei) nem számolhatjuk bele az összegbe, ezért kivonjuk őket. Ám a \(\displaystyle 19\cdot53\)-at már kétszer is kivontuk az összegből, így ezt egyszer hozzáadjuk.

Az összeg kiszámolva:

\(\displaystyle S=\frac{1+2013}{2}\cdot1007-53\cdot\frac{1+37}{2}\cdot19-19\cdot\frac{1+105}{2}\cdot53+19\cdot53=942552.\)

A bevétel ezek szerint \(\displaystyle 942552/19=49608\).

A tökéletes virágok száma pedig \(\displaystyle 1007-19-53+1=936\), ami \(\displaystyle 936/12=78\) tucatot jelent. Tehát a tulipánok tucatját \(\displaystyle 49608/78=636\) Ft-ért árulták.

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	66 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai