A C. 1237. feladat (2014. május)

C. 1237. Egy 45 dkg tömegű cipót háromfelé vágtunk. A legnagyobb és a legkisebb darab között 5 dkg a különbség. Mekkora lehet az egyes darabok tömege, ha a tömegek szórása \(\displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}\) dkg?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a legkisebb darab tömege \(\displaystyle a\), a középsőé \(\displaystyle b\) (a dkg-ot nem írjuk ki, odaértjük mindenhová). A legnagyobb tömeg ekkor \(\displaystyle a+5\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a+b+(a+5)=45\), amiből \(\displaystyle 2a+b=40\), vagyis \(\displaystyle b=40-2a\). Mivel az átlag \(\displaystyle M=\frac{45}{3}=15\), így a szórás

\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{(15-a)^2+(15-(40-2a))^2+(15-(a+5))^2}{3}}=\sqrt{\frac{14}{3}},\)

amit négyzetre emelve és 3-mal szorozva:

\(\displaystyle (15-a)^2+(2a-25)^2+(10-a)^2=14.\)

A zárójeleket felbontva és rendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle a^2-25a+156,\)

ebből

\(\displaystyle a=\frac{25\pm1}{2}.\)

A megoldások: \(\displaystyle a_1=13\), \(\displaystyle b_1=14\) és \(\displaystyle c_1=18\), illetve \(\displaystyle a_2=12\), \(\displaystyle b_2=16\), \(\displaystyle c_2=17\).

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Kenderes Anett, Krisztián Jonatán, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Temesvári Fanni.
4 pontot kapott:	Nagy Dávid.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai