A C. 1242. feladat (2014. szeptember)

C. 1242. Egy derékszögű háromszög oldalai 3, 4, 5. Határozzuk meg azt az egyenest, amely a háromszög kerületét és területét is felezi.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait, csúcsait és szögeit a szokásos módon. Legyen most \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle b=4\), \(\displaystyle c=5\). A háromszög kerülete 12, területe pedig 6.

Három eset van.

I. eset. Az egyenes a két befogót metszi, az \(\displaystyle a\) oldalt a \(\displaystyle C\) csúcstól \(\displaystyle x\), a \(\displaystyle b\) oldalt pedig \(\displaystyle y\) távolságban. Mivel a területet felezi, ezért \(\displaystyle xy=6\) és \(\displaystyle x+y=6\). Ez utóbbiból \(\displaystyle y=6-x\), amit az első egyenletbe beírva, majd azt rendezve és megoldva:

\(\displaystyle x(6-x)=6,\)

\(\displaystyle x^2-6x+6=0,\)

\(\displaystyle x_{1,2}=3\pm\sqrt3.\)

Mivel \(\displaystyle 3+\sqrt3>4\), ezért ez nem ad megoldást.

II. eset. Az egyenes az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle c\) oldalt metszi, az \(\displaystyle a\) oldalt a \(\displaystyle C\) csúcstól \(\displaystyle x\), így a \(\displaystyle B\) csúcstól \(\displaystyle 3-x\) távolságra. Ahhoz, hogy a kerületet felezze, a \(\displaystyle c\) oldalt a \(\displaystyle B\) csúcstól \(\displaystyle 3+x\) távolságra kell, hogy messe. Mivel az egyenes felezi a területet, felírható:

\(\displaystyle \frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sin\beta}{2}=(3-x)(3+x)\cdot\frac{\sin\beta}{2},\)

amiből

\(\displaystyle x=\sqrt{1,5}.\)

Az az egyenes, ami az \(\displaystyle a\) oldalt a \(\displaystyle B\) csúcstól \(\displaystyle 3-\sqrt{1,5}\), a \(\displaystyle c\) oldalt pedig \(\displaystyle 3+\sqrt{1,5}\) távolságra metszi, felezi a háromszög kerületét és a területét.

III. eset. Az egyenes a \(\displaystyle b\) és a \(\displaystyle c\) oldalt metszi, a \(\displaystyle b\) oldalt a \(\displaystyle C\) csúcstól \(\displaystyle x\), így az \(\displaystyle A\) csúcstól \(\displaystyle 4-x\) távolságra. Ahhoz, hogy a kerületet felezze, a \(\displaystyle c\) oldalt az \(\displaystyle A\) csúcstól \(\displaystyle 2+x\) távolságra kell, hogy messe. Hasonlóan a II. esethez felírható, hogy

\(\displaystyle \frac12\cdot4\cdot5\cdot\frac{\sin\alpha}{2}=(4-x)(2+x)\cdot\frac{\sin\alpha}{2},\)

amiből a \(\displaystyle 0=x^2-2x+2\) egyenletet kapjuk. Azonban \(\displaystyle x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\), tehát ebben az esetben nem kapunk megoldást.

Statisztika:

172 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	100 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai