A C. 1253. feladat (2014. november)

C. 1253. Igazoljuk, hogy az olyan derékszögű háromszögekben, amelyekben minden oldalhossz egész szám, a derékszögű csúcs és az átfogó két harmadoló pontja által meghatározott háromszög területe is egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az így kapott háromszög területe az eredeti derékszögű háromszög területének a harmada, vagyis a szokásos jelöléssel \(\displaystyle \frac{ab}{6}\). Valamint \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) olyan egész számok, amelyekre \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\).

Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, attól függően, hogy az alap osztható 3-mal,vagy sem. Vagyis \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül legalább az egyik osztható 3-mal (egyébként 2 lenne a maradék). Ezek szerint az \(\displaystyle ab\) osztható 3-mal.

Egy négyzetszám 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékú, attól függően, hogy az alap páros vagy sem. Vagyis \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike biztosan páros. Ezek szerint az \(\displaystyle ab\) osztható 2-vel.

Mivel \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 3\) relatív prímek, azért \(\displaystyle ab\) osztható a szorzatukkal, és így \(\displaystyle \frac{ab}{6}\) egész. Ezt szerettük volna igazolni.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	93 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai