 |
A C. 1257. feladat (2014. november) |
C. 1257. Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle b=1{,}5a\) és \(\displaystyle \beta=2\alpha\). Hányszorosa a \(\displaystyle c\) oldal hossza az \(\displaystyle a\) oldal hosszának?
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a szinusz-tételt az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle b\) oldalra: \(\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{1,5a}{\sin2\alpha}\). Használjuk fel, hogy \(\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\): \(\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{1,5a}{2\sin\alpha\cos\alpha}\), amiből \(\displaystyle \cos\alpha=\frac34\).
Most írjuk fel a szinusz-tételt az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle c\) oldalra: \(\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(\pi-3\alpha)}\), amiből \(\displaystyle c=a\cdot\frac{\sin(\pi-3\alpha)}{\sin\alpha}=a\cdot\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}\).
Fejezzük ki \(\displaystyle \sin3\alpha\)-t \(\displaystyle \sin\alpha\) és \(\displaystyle \cos\alpha\) segítségével:
\(\displaystyle \sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha=2\sin\alpha\cos^2\alpha+ \sin\alpha(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)=\)
\(\displaystyle =\sin\alpha(2\cos^2\alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)= \sin\alpha(3\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha))=\)
\(\displaystyle =\sin\alpha(4\cos^2\alpha-1)=\sin\alpha\left(4\cdot\frac{9}{16}-1\right)= \frac54\sin\alpha.\)
Ebből
\(\displaystyle c=a\cdot\frac{\frac54\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac54a.\)
Statisztika:
69 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bálint Karola, Bánóczi Anna, Bereczki Zoltán, Béres Krisztián, Brányi Balázs, Csizi Bence, Egyházi Anna, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Hermann Erik, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kaló Ádám, Kasó Ferenc, Kósa Szilárd, Kovács 599 Bálint, Mándoki Sára, Nánási Dániel Bence, Orosz Bálint, Pap-Takács Mónika, Ramács Gábor, Révai Márton, Sipeki Gergely, Sudár Ákos, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Török Réka , Varjas István Péter, Várkonyi Lídia, Vida Máté Gergely. 4 pontot kapott: 23 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai