A C. 1267. feladat (2015. január)

C. 1267. Adott a síkon egy konvex szögtartomány, belsejében egy \(\displaystyle S\) pont. Határozzuk meg (például a szerkesztési eljárás megadásával) azt az egyenest, amely által a szögtartományból levágott háromszög súlypontja éppen az \(\displaystyle S\) pont.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) félegyenesek által meghatározott szögtartományban adott az \(\displaystyle S\) pont. A szögtartomány csúcsát jelölje \(\displaystyle O\).

Az \(\displaystyle O\) pontot az \(\displaystyle S\) pontra tükrözve kapjuk az \(\displaystyle O'\) pontot. Ezen a ponton keresztül párhuzamost húzva az \(\displaystyle e\), illetve az \(\displaystyle f\) félegyenessel, a másik félegyenessel való metszéspontokat jelölje rendre \(\displaystyle F\), illetve \(\displaystyle E\). Mivel \(\displaystyle EO'||OF\) és \(\displaystyle EO||O'F\), ezért az \(\displaystyle OFO'E\) négyszög paralelogramma, tehát átlói felezik egymást: az \(\displaystyle FEO\) háromszög \(\displaystyle FE\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle S\).

Nagyítsuk ki az \(\displaystyle O\) pontból az \(\displaystyle OFE\) háromszöget a 1,5-szeresére: az \(\displaystyle OA\) szakasz \(\displaystyle A\) felezőpontját \(\displaystyle E\)-re tükrözve az \(\displaystyle A'\), az \(\displaystyle OF\) szakasz \(\displaystyle B\) felezőpontját \(\displaystyle F\)-re tükrözve a \(\displaystyle B'\) pontot kapjuk. Az \(\displaystyle OS\) félegyenes metszéspontja az \(\displaystyle A'B'\) szakasszal legyen \(\displaystyle S'\). Ekkor \(\displaystyle S'\) felezi az \(\displaystyle A'B'\) szakaszt és \(\displaystyle OS'=1,5OS\), tehát \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle OB'A'\) háromszög súlypontja.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai