 |
A C. 1270. feladat (2015. január) |
C. 1270. Rajzoltunk néhány egyenest és kört egy lapra úgy, hogy bármely kettőnek van metszéspontja és semelyik három nem megy át közös ponton. Hány kört és hány egyenest rajzoltunk, ha összesen 75 metszéspontjuk van?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Jelölje \(\displaystyle x\) a körök, \(\displaystyle y\) pedig az egyenesek számát. Két körnek egymással 2 metszéspontja van, két egyenesnek egymással 1, végül egy kör és egy egyenes 2 pontban metszi egymást. Felírhatjuk tehát a következő egyenletet:
\(\displaystyle 2\binom x2+\binom y2+2xy=75,\)
vagyis
\(\displaystyle x(x-1)+\frac{y(y-1)}{2}+2xy=75.\)
Két egymást követő egész számból az egyik páros, tehát \(\displaystyle 2|x(x-1)\). Mivel \(\displaystyle 2xy\) is páros, 75 viszont páratlan, ezért \(\displaystyle \frac{y(y-1)}{2}\) páratlan kell, hogy legyen. Ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle y(y-1)\) nem osztható 4-gyel. Mivel a két szám közül az egyik páratlan, ezért vagy \(\displaystyle y\), vagy \(\displaystyle y-1\) ad 4-gyel osztva 2 maradékot.
Tehát \(\displaystyle y\) vagy 2, vagy 3 maradékot ad 4-gyel osztva.
Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) nemnegatív számok, ezért \(\displaystyle 2\binom x2\leq75\), amiből \(\displaystyle x^2\leq75\), és így \(\displaystyle x\leq8\). Hasonlóan kapjuk, hogy \(\displaystyle y\leq12\).
Tehát \(\displaystyle y\) értéke 2, 3, 6, 7, 10 vagy 11 lehet. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes esetekben 0, 1,...,8 körrel együtt összesen hány metszéspont keletkezik.
Mivel egy körnek egy egyenessel és egy körrel is 2 metszéspontja van, ezért egy újabb kör felrajzolásakor kétszer annyi új metszéspont keletkezik, mint ahány alakzat előtte volt a papíron. Ha a metszéspontok száma eléri, vagy meghaladja a 75-öt, már nem lehet több kör a rajzon. Ez alapján a metszéspontok száma a megfelelő \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) értékekre:
|
Látható, hogy csak az \(\displaystyle x=4\), \(\displaystyle y=6\) esetben lesz 75 metszéspont. Vagyis 4 kört és 6 egyenest rajzoltunk a papírlapra.
2. megoldás. Az 1. megoldásban kapott \(\displaystyle x(x-1)+\frac{y(y-1)}{2}+2xy=75\) egyenlet kétszeresét \(\displaystyle y\)-ra rendezve:
\(\displaystyle y^2+(4x-1)y+(2x^2-2x-150)=0.\)
Ebből
\(\displaystyle y_{1,2}=\frac{1-4x\pm\sqrt{16x^2-8x+1-8x^2+8x+600}}{2}= \frac{1-4x\pm\sqrt{8x^2+601}}{2}.\)
Mivel \(\displaystyle x\) egész, ahhoz, hogy \(\displaystyle y\)-ra is egész számot kapjunk, a gyök alatt négyzetszám kell, hogy álljon. Az 1. megoldásban láttuk, hogy \(\displaystyle x\) értéke legfeljebb 8 lehet.
A gyök alatti kifejezés értéke \(\displaystyle x=0\), 1, 2, .. , 8 esetén rendre: 601, 609, 633, 673, 729, 801, 889, 993, 1113. Ebből egyedül a 729 négyzetszám, ekkor \(\displaystyle x=4\) és \(\displaystyle y_{1,2}=\frac{1-4\cdot4\pm27}{2}\) miatt \(\displaystyle y\) értéke 6 vagy 22. Mivel a 22 sok, ezért a 6 a megoldás: 4 kört és 6 egyenest rajzoltunk a lapra.
Statisztika:
134 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 64 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2015. januári matematika feladatai