A C. 1284. feladat (2015. március)

C. 1284. Magyar kártyából öt lapot húzva melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy az öt lap azonos színű vagy annak, hogy van köztük négy azonos szám vagy figura?

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A magyar kártyában 4 szín van, mindegyikben 4 szám és 4 figura, ez összesen 32 lap. Jelölje \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) rendre azt az eseményt, hogy az öt kihúzott lap azonos színű, illetve van köztük négy azonos szám vagy figura. Az összes esemény száma annyi, ahányféleképpen a 32 lapból 5-öt ki tudunk húzni. Mivel ez mindkét esetben ugyanannyi, és a valószínűséget úgy kapjuk, hogy a jó esetek számát osztjuk az összes eset számával, ezért ezt nem szükséges kiszámolni, elég a jó esetek számát meghatározni.

Öt azonos színű lapot \(\displaystyle 4\cdot\binom85=224\)-féleképpen tudunk kihúzni, mert a 4 színt 4-féleképp válaszhatjuk, és a 8 azonos színű lapból 5-öt húzunk ki.

Négy azonos számot vagy figurát akkor húzunk, ha mind a négy színből kihúzzuk ugyanazt a számot vagy figurát, amire 8 lehetőség van, az ötödik lap pedig bármi lehet a maradék 28 lapból. Erre \(\displaystyle 8\cdot\binom{28}{1}=224\) lehetőség van.

Vagyis a két valószínűség megegyezik.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai