 |
A C. 1285. feladat (2015. március) |
C. 1285. Egy egyenlő szárú háromszögbe írható kör sugarának hosszát elosztjuk a körülírható kör sugarának hosszával. Legfeljebb mekkora lehet a kapott hányados?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy háromszög köré írható körének a sugara \(\displaystyle R=\frac{abc}{4t}\), ahol \(\displaystyle t\) a háromszög területét jelöli, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pedig az oldalait. A beírt kör sugara \(\displaystyle r=\frac {t}{s}\), ahol \(\displaystyle s\) a félkerület.
Mivel most egyenlő szárú háromszögről van szó, ezért \(\displaystyle R=\frac{a^2c}{4t}\), \(\displaystyle r=\frac{2t}{2a+c}\) és \(\displaystyle s=a+\frac c2\).
A Heron-képletből \(\displaystyle t^2=s(s-a)(s-a)(s-c)=\left(a+\frac c2\right)\cdot\frac c2\cdot \frac c2\cdot\left(a-\frac c2\right)\). A keresett arány:
\(\displaystyle \frac rR=\frac{2t}{2a+c}\cdot\frac{4t}{a^2c}=\frac{8t^2}{(2a+c)\cdot a^2c}=\frac{8(a+\frac c2)\cdot\frac{c^2}{4}(a-\frac c2)}{(2a+c)\cdot a^2c}=\)
\(\displaystyle =\frac{c(a-\frac c2)}{a^2}=\frac ca-\frac12\left(\frac ca\right)^2=\frac ca\left(1-\frac 12\cdot\frac ca\right).\)
Ez egy \(\displaystyle \frac ca\)-ra nézve másodfokú függvény, melynek grafikonja egy lefele álló parabola, aminek maximumhelye a két gyök számtani közepénél van. Mivel a két gyök 0 és 2, ezért a maximumhely az 1-ben van, ekkor \(\displaystyle a=c\), a háromszög szabályos, az arány pedig \(\displaystyle 1\cdot\frac{2-1}{2}=\frac12\).
Megjegyzés. Általában igaz, hogy a háromszög köré írható kör sugara legalább kétszerese a beírható kör sugarának. Lásd Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről.
Statisztika:
36 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Chourfi Abdel Karim, Egyházi Anna, Fehér Balázs, Fülöp Erik, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Mészáros 01 Viktória, Porupsánszki István, Szász Róbert, Várkonyi Lídia, Vida Máté Gergely. 4 pontot kapott: Erdei Ákos, Fényes Balázs, Gema Szabolcs, Gracia Dániel, Kasó Ferenc, Lénárt Levente, Mándoki Sára, Pap-Takács Mónika, Sándor Gergely, Sipeki Gergely, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Török Réka , Varjas István Péter. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai