A C. 1292. feladat (2015. április)

C. 1292. Oldjuk meg a \(\displaystyle \big(3\sqrt{3}\,\big)^n- \big(2\sqrt{2}\,\big)^n =2^n+3^n+\sqrt{6}^{\,n}\) egyenletet a pozitív egészek körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt3^n\) és \(\displaystyle b=\sqrt2^n\). Ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle a^3-b^3=b^2+a^2+ab.\)

Mivel \(\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) egy azonosság, ezért ebből

\(\displaystyle (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^2+ab+b^2,\)

majd

\(\displaystyle (a-b-1)(a^2+ab+b^2)=0\)

következik. A szorzat második tényezője \(\displaystyle 3^n+\sqrt6^n+2^n>0\), tehát annak kell teljesülnie, hogy

\(\displaystyle a-b-1=\sqrt3^n-\sqrt2^n-1=0.\)

Könnyen látható, hogy \(\displaystyle n=1\) nem megoldás, \(\displaystyle n=2\) pedig igen, vagyis \(\displaystyle \sqrt3^2-\sqrt2^2=1\). Mivel \(\displaystyle \sqrt3>\sqrt2\), ezért \(\displaystyle \sqrt3^k>\sqrt2^k\), ha \(\displaystyle k\) pozitív egész, vagyis ekkor \(\displaystyle \sqrt3^{k+2}-\sqrt2^{k+2}>\sqrt2^k\left(\sqrt3^2-\sqrt2^2\right)=\sqrt2^k>1\). Tehát más megoldás nincs a pozitív egészek körében.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Egyházi Anna, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Kasó Ferenc, Krisztián Jonatán, Mészáros 01 Viktória, Szűcs Dorina, Vida Máté Gergely.
4 pontot kapott:	Bodonhelyi Anna, Bottlik Judit, Erdei Ákos, Fülöp Erik, Kósa Szilárd, Pap-Takács Mónika, Sándor Gergely, Sudár Ákos, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Török Réka , Viharos Loránd Ottó.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai