A C. 1304. feladat (2015. szeptember)

C. 1304. Két játékos felváltva felír a táblára egy-egy természetes számot 1-től 10-ig. A szabály szerint csak olyan számot írhatnak fel, amely a táblán lévő számok egyikének sem osztója. Az a játékos veszít, aki a soron következő lépését nem tudja megtenni. Mutassuk meg, hogy ha a kezdő játékos jól játszik, akkor biztosan nyer.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Írja fel először a 6-ost az első játékos. Ekkor az 1, 2 és a 3 sem írható már fel, a 4, 5, 7, 8, 9, 10 a választható számok. Ezek közül a 8 osztója a 4, a 10 osztója az 5, más oszthatósági kapcsolat nincs a számok között. Állítsuk párba ezt a hat számot a következőképp: a 4 az 5-tel, a 8 a 10-zel, végül a 7 a 9-cel legyen párban. Ekkor, ha a második játékos valamelyik számot felírja, akkor az első játékos a párját írja fel. Ha a 8 vagy a 10 előbb jön, mint a 4 vagy az 5, akkor csak két-két számot írnak fel, egyébként három-három számot. Így valóban a kezdő játékos lesz az utolsó, így ő nyer.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	56 versenyző.
0 pontot kapott:	45 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai