A C. 1306. feladat (2015. szeptember)

C. 1306. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben két oldal is legfeljebb akkora, mint a hozzájuk tartozó magasság, akkor a háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a három oldal \(\displaystyle a\leq b\leq c\), és jelöljük a hozzájuk tartozó magasságokat a szokásos módon.

Ha a háromszög nem derékszögű, akkor a magasságok és az oldalak által meghatározott derékszögű háromszögekből \(\displaystyle m_b<a\) és \(\displaystyle m_c<a\) is következik. Így \(\displaystyle m_c<a\leq c\) miatt \(\displaystyle m_c<c\), és \(\displaystyle m_b<a\leq b\) miatt \(\displaystyle m_b<b\) teljesül. Ebben az esetben tehát nem teljesül a feladat feltétele.

Ha a háromszög derékszögű, akkor \(\displaystyle a\leq b<c\), hiszen a derékszög a legnagyobb oldallal szemközti szög. Ekkor \(\displaystyle m_b=a\) és \(\displaystyle m_a=b\) miatt \(\displaystyle m_b\leq b\) és \(\displaystyle a\leq m_a\). Az \(\displaystyle m_c\) és az \(\displaystyle a\) által meghatározott derékszögű háromszögből \(\displaystyle c>a>m_c\). Tehát a feltétel csak akkor tud teljesülni, ha \(\displaystyle m_b=b\), amiből \(\displaystyle a=b\) következik. Ekkor a két befogóra teljesül, hogy legfeljebb akkorák, mint a hozzájuk tartozó magasság.

Ezzel beláttuk az állítást.

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Babotán Márk, Bánóczi Anna, Buzás Álmos, Csorba Benjámin, Erdélyi Janka, Fetter László, Horváth András János, Inges Zénó, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Iván, Kupás Vendel Péter, M. Szűcs Péter, Mészáros 01 Viktória, Ondrik Ákos, Osváth Tibor Attila, Pukler Márton, Souly Alexandra, Tar Viktor, Tatai Mihály, Tolmácsi Ágnes, Török Réka .
4 pontot kapott:	Dankowsky Anna Zóra, Horeftos Leon, Kasó Ferenc, Kiss Attila Csaba, Kósa Szilárd, Matusek Márton, Nagy 911 Viktória, Perger Kitti, Simon Ákos, Sudár Ákos, Szücs Patrícia, Tisza Marcell, Tóth Adrián, Viharos Loránd Ottó.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai