A C. 1307. feladat (2015. szeptember)

C. 1307. Milyen \(\displaystyle q\) valós számra lesznek a \(\displaystyle \big(3-\sqrt{5}\,\big)\), \(\displaystyle \Big(\frac{3\sqrt{5}}{5}-q\Big)\), \(\displaystyle \Big(0,6-\frac{1}{\sqrt{5}}\Big)\) számok egy mértani sorozat egymást követő szomszédos elemei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a három tagot a következőképpen: \(\displaystyle a_i=\big(3-\sqrt{5}\,\big)\), \(\displaystyle a_{i+1}=\Big(\frac{3\sqrt{5}}{5}-q\Big)\), \(\displaystyle a_{i+2}=\Big(0,6-\frac{1}{\sqrt{5}}\Big)\), és legyen a sorozat hányadosa \(\displaystyle h\).

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 3:5=0,6\) és \(\displaystyle \sqrt5:5=\frac{1}{\sqrt5}\), tehát \(\displaystyle a_i:5=a_{i+2}\). Ekkor \(\displaystyle h^2=5\), amiből \(\displaystyle h=\pm\sqrt5\). Mivel \(\displaystyle 3:\sqrt5=\frac{3\sqrt{5}}{5}\), így \(\displaystyle q_1=\sqrt5:\sqrt5=1\) biztosan megoldás (ez a \(\displaystyle h=\sqrt5\) eset).

Ha \(\displaystyle h=-\sqrt5\), akkor \(\displaystyle (3-\sqrt5):-\sqrt5=-\frac{3}{\sqrt5}+1=\frac{3\sqrt5}{5}-q\), amiből \(\displaystyle q_2=\frac{6}{\sqrt5}-1\).

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	58 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai