A C. 1324. feladat (2015. december)

C. 1324. Ági szívecske alakú mézeskalácsokat süt karácsonyra. A mézecskalács formája egy 6 cm oldalú négyzet és két szomszédos oldalához illeszkedő félkör egyesítéseként jön létre. Az összegyúrt tésztát mindig ugyanolyan vastagságúra és egész deciméter oldalhosszúságú négyzet alakba nyújtja (a méreten túl lógó részeket levágja, és a testvérének adja). A szívecskéket úgy vágja ki a négyzetből, hogy egyik sarkához illeszti a szaggató forma sarkát, hogy az oldalak is egybeessenek, majd ugyanebben az irányban helyezi el a lehető legszorosabban újra és újra a szaggatót a kivágott szívek mellé. Hány szívecskét tud sütni Ági, ha kezdetben egy 1 m\(\displaystyle {}^2\)-es tésztája van, és a formázás utáni maradékot mindig újra gyúrja?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy szív alakú mézeskalács egy 9 cm oldalú négyzetbe foglalható. Itt a tészta maradék területe a négyzet és a mézeskalács területének különbsége:

\(\displaystyle T_1=9^2-\left(6^2+3^2\pi \right)\,{\approx}\,16,726\mathrm{~cm}^2.\)

Mivel \(\displaystyle 1~\mathrm{~m}=100\mathrm{~cm}\) és \(\displaystyle 100:9=11\), az \(\displaystyle 1~\mathrm{~m}^2=10000\mathrm{~cm}^2\)-es kezdeti tésztamennyiségből \(\displaystyle 11\cdot 11=121\mathrm{~db}\) szívecske formázható, ehhez \(\displaystyle (11\cdot 9)^2=9801\mathrm{~cm}^2\)-es négyzetet használtunk fel. Így a maradék tészta:

\(\displaystyle T_{\mathit{M1}}=10000-9801+121\cdot T_1\,{\approx}\,2222,85\mathrm{~cm}^2.\)

Ebből egy \(\displaystyle 4\mathrm{~dm}=40\mathrm{~cm}\) oldalú négyzetet tud kialakítani Ági, amiből újabb \(\displaystyle 16\mathrm{~db}\) mézeskalácsot tud formázni. A maradék tészta:

\(\displaystyle T_{\mathit{M2}}=40^2-(4\cdot 9)^2+16\cdot T_1\,{\approx}\,571,62\mathrm{~cm}^2.\)

Ebből egy \(\displaystyle 2\mathrm{~dm}=20\mathrm{~cm}\) oldalú négyzetet alakít ki Ági, amiből újabb \(\displaystyle 4\mathrm{~db}\) mézeskalácsot tud formázni. A maradék tészta:

\(\displaystyle T_{\mathit{M3}}=20^2-(2\cdot 9)^2+4\cdot T_1\,{\approx}\,142,90\mathrm{~cm}^2.\)

Ebből egy \(\displaystyle 1\mathrm{~dm}=10\mathrm{~cm}\) oldalú négyzet lesz, amiből \(\displaystyle 1\) db mézeskalácsot tud formázni. A maradék tészta:

\(\displaystyle T_{\mathit{M4}}=10^2-(1\cdot 9)^2+1\cdot T_1\,{\approx}\,35,73\mathrm{~cm}^2.\)

Ez már nem elegendő egy újabb mézeskalácshoz.

Összesen \(\displaystyle 121+16+4+1=142\) db mézeskalácsot készített Ági.

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai