A C. 1325. feladat (2015. december)

C. 1325. Jelölje \(\displaystyle a_n\) a \(\displaystyle \sqrt n\)-hez legközelebbi egész számot. Mekkora az

\(\displaystyle \frac 1{a_1}+ \frac 1{a_2}+ \frac 1{a_3}+\ldots + \frac 1{a_{484}} \)

összeg?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorozat így kezdődik:

\(\displaystyle \frac 1 1+\frac 1 1+\frac 1 2+\frac 1 2+\frac 1 2+\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 3+\frac 1 3+\frac 1 3+\frac 1 3+\frac 1 3+\frac 1 4+{\dots}.\)

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle n\) nevezőjű törtekből \(\displaystyle 2n\) darab van.

Bizonyítsuk ezt be! Mivel \(\displaystyle (n+0,5)^2=n^2+n+0,25\), ezért az \(\displaystyle n^2,\) \(\displaystyle n^2+1\), ..., \(\displaystyle n^2+n\) számok négyzetgyöke az n számhoz, míg az \(\displaystyle n^2+n+1,\) \(\displaystyle n^2+n+2\), ..., \(\displaystyle n^2+2n+1\) számok négyzetgyöke az \(\displaystyle n+1\) számhoz áll közelebb. Tehát a négyzetszámok közötti számok felének a kisebb, felének pedig a nagyobb négyzetszámhoz áll közelebb a négyzetgyöke. Az \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\) számok négyzetei között álló számok száma: \(\displaystyle (n+1)^2-n^2-1=2n\), ezek felének négyzetgyöke az n számhoz áll közelebb. Az \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n\) számok négyzetei között álló \(\displaystyle 2(n-1)\) szám közül \(\displaystyle n-1\) szám gyöke áll közelebb \(\displaystyle n\)-hez. Így az \(\displaystyle n\) nevezőjű törtek száma \(\displaystyle n-1+1+n=2n\), összegük pedig \(\displaystyle 2n\cdot \frac 1 n=2\) lesz.

Ezt alkalmazhatjuk \(\displaystyle n=21\)-ig, addig az összeg \(\displaystyle 42\) lesz. \(\displaystyle 484=22^2\). Előtte \(\displaystyle 21\) szám négyzetgyöke lesz felfelé kerekítve \(\displaystyle 22\), így magával a \(\displaystyle 484\). taggal \(\displaystyle 22\) darab \(\displaystyle 22\) nevezőjű tört lesz. Ezek összege 1.

A teljes sorozat összege tehát 43.

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bánóczi Anna, Cseh Noémi, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Dávid Levente, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Földvári Benedek, Fucskár Patrícia, Garamvölgyi István Attila, Horeftos Leon, Horváth András János, Jedlovszky Pál, Kamenár Gyöngyvér, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Iván, Kozma Dávid Márk, Lévay Mátyás, Mályusz Attila, Marozsák Tóbiás , Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mikulás Zsófia, Mohácsi Márton, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Nándor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Radnai Laszló, Sebe Anna, Szécsi Adél Lilla, Tar Viktor, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Tóth 111 Máté , Tóth Adrián, Varga 157 Kristóf, Veres Bálint, Villányi Soma, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	71 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai