 |
A C. 1328. feladat (2015. december) |
C. 1328. Oldjuk meg a következő egyenletet:
\(\displaystyle 2^{\sin^2 x}= \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt2}. \)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle 0{\leq}\sin ^2x{\leq}1\), emiatt az egyenlet bal oldala: \(\displaystyle 1{\leq}2^{\sin ^2x}{\leq}2\).
A jobb oldalt alakítsuk át az addíciós tétel segítségével:
\(\displaystyle \frac{\sin x+\cos x }{\sqrt 2}=\sin x\frac{\sqrt 2} 2+\cos x\frac{\sqrt 2} 2=\sin x\cdot \cos \frac{\pi } 4+\cos x\cdot \sin \frac{\pi } 4=\sin \left(x+\frac{\pi } 4\right).\)
Így az egyenlet jobb oldala: \(\displaystyle -1{\leq}\sin \left(x+\frac{\pi } 4\right){\leq}1\).
A két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha mindkettő értéke 1.
\(\displaystyle 2^{\sin ^2x}=1\) csak akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \sin ^2x=0\), vagyis \(\displaystyle \sin x=0\).
Tehát \(\displaystyle x=k\pi \), ahol \(\displaystyle k{\in}\Bbb Z\).
\(\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi } 4\right)=1\), ha \(\displaystyle x=\frac{\pi } 4+2l\pi \), ahol \(\displaystyle l{\in}\Bbb Z\).
Tehát nincs olyan \(\displaystyle x\), melyre egyszerre mindkét oldal értéke 1 lenne, így az egyenletnek nincs megoldása.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balázs Ákos Miklós, Bánóczi Anna, Csapó Márton, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Erdélyi Janka, Fischer Kornél, Fülöp Ágota, Hack Aliz, Horeftos Leon, Horváth 999 Viktória, Horváth András János, Horváth Tibor 1998, Inges Zénó, Józsa Dominik, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Iván, Krasznai Adél, Lévay Mátyás, Mácz Andrea, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nagy 911 Viktória, Ondrik Ákos, Perger Kitti, Radnai Laszló, Sallai Krisztina, Souly Alexandra, Sudár Ákos, Szabó Alexandra, Szajkó Gréta, Szalay Dorottya, Szalay Máté Csongor, Szauer Marcell, Tar Viktor, Tatai Mihály, Tóth Adrián, Török Réka , Ványi Virág. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai