 |
A C. 1339. feladat (2016. február) |
C. 1339. Egy faiskolában egy \(\displaystyle 30~\rm m\times 40~m\) méretű négyzetrács rácspontjaiba ültettek fákat. A rácsvonalak mentén szomszédos fák távolsága 1 méter. Egy pocok reggeli sétája során úgy járja körbe az ültetvényt, hogy minden pillanatban 1 méterre legyen a hozzá legközelebb eső fától. Mekkora utat tesz meg a pocok, amíg visszaér a kiinduló helyére, ha soha nem fordul vissza?
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A pocoknak az ábrán látható módon, a sarkokon \(\displaystyle 150^{\circ}\)-os (hiszen \(\displaystyle 360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}\)), az oldalak mentén pedig \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű köríveken kell haladnia.
A 40 m hosszú oldalon 39, a 30 m hosszú oldalon pedig 29 közbenső pont van, így annyi a \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os ív. Tehát a szögek összege:
\(\displaystyle \omega=4\cdot150^{\circ}+2\cdot(39+29)\cdot60^{\circ}=8760^{\circ}.\)
A pocok útja:
\(\displaystyle s=\frac{\omega}{360^{\circ}}\cdot2r\pi=\frac{8760^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot1\cdot2\pi\approx 152,89 {\rm ~m}.\)
Statisztika:
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai