A C. 1342. feladat (2016. február)

C. 1342. Adjuk meg az \(\displaystyle a\) paraméter értékét úgy, hogy az alábbi egyenletnek pontosan két megoldása legyen:

\(\displaystyle x^3 -a=\sqrt[3]{x+a}. \)

Adjuk meg a megoldásokat is.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Ábrázoljuk az \(\displaystyle f(x)=x^3\) és a \(\displaystyle g(x)=\sqrt[3]{x}\) függvényeket! Látható, hogy a görbék 3 helyen metszik egymást, így az \(\displaystyle x^3=\sqrt[3]{x}\) egyenletnek 3 megoldása van. (-1, 0 és 1, ezek ellenőrizve jók is.)

Az \(\displaystyle f_1(x)=x^3-a\) függvény képe az előbbiből \(\displaystyle a\)-val való függőleges eltolással, a \(\displaystyle g_1 (x)=\sqrt[3]{x+a}\) függvény képe az előbbiből vízszintes eltolással jön létre, ha \(\displaystyle a\neq0\).

Az \(\displaystyle x^3-a=\sqrt[3]{x+a}\) egyenletnek akkor lesz pontosan 2 megoldása, ha az eltolt függvénygörbék egy pontban érintik és egy pontban metszik egymást. Mivel a függvények egymás inverzei, ezért az \(\displaystyle y=x\) egyenesen érinthetik egymást és érintőik meredeksége ekkor \(\displaystyle m=1\).

\(\displaystyle m=f_1'(x)=3x^2=1\), amiből az érintési pont abszcisszájára \(\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\)-at kapunk.

Az \(\displaystyle y=x^3\) függvény egyik 1 meredekségű érintőjével vett érintési pontjának koordinátái: \(\displaystyle B\left(\frac{1}{\sqrt3};\frac{1}{\sqrt{27}}\right)\).

A \(\displaystyle C\) pont koordinátái az \(\displaystyle y=x\) egyenesen, ahová a görbét a \(\displaystyle B\) pontból el kell tolni, hogy érintés legyen: \(\displaystyle C\left(\frac{1}{\sqrt3};\frac{1}{\sqrt3}\right)\).

Az eltolás mértéke: \(\displaystyle a=BC=\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{3}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{27}}\).

Az \(\displaystyle f(x)\) függvényt \(\displaystyle a\)-val lefelé, a \(\displaystyle g(x)\) függvényt \(\displaystyle a\)-val balra eltolva a 3. síknegyedben érintik, az 1. síknegyedben metszik egymást a görbék, így ekkor valóban 2 megoldás van.

Ellenkező irányú (felfelé, illetve jobbra) történő \(\displaystyle a\)-val való eltolás esetén az érintés az 1., a metszés a 3. síknegyedben jön létre.

Tehát az adott egyenletnek \(\displaystyle a=\pm\frac{2}{\sqrt{27}}\) értékek esetén van pontosan 2 megoldása.

Tekintsük azt az esetet, amikor az érintés a 3. síknegyedben jön létre. Mivel az \(\displaystyle y=x\) egyenesen érintik egymást, ezért az \(\displaystyle x^3-\frac{2}{\sqrt{27}}=x\) egyenletnek is két megoldása van, melyből az \(\displaystyle x_1=-\frac{1}{\sqrt3}\) helyen van az érintés, vagyis

\(\displaystyle x^3-x-\frac{2}{\sqrt{27}}=\left(x+\frac{1}{\sqrt3}\right)^2(x-x_2)= \left(x^2+\frac{2}{\sqrt3}x+\frac13\right)(x-x_2).\)

Az együtthatók egyenlőségéből innen \(\displaystyle x_2=\frac{2}{\sqrt3}\) következik.

A másik esetben a két gyök \(\displaystyle x_1=\frac{1}{\sqrt3}\) és \(\displaystyle x_2=-\frac{2}{\sqrt3}\).

II. megoldás (vázlat). Mivel a két függvény egymás inverze, ezért pl. akkor lehet két megoldás, ha az \(\displaystyle y=x\) egyenletű egyenesen érintik egymást. Ekkor az \(\displaystyle y=x^3-a\) függvény és az \(\displaystyle y=x\) függvény közös pontjainak száma is kettő, vagyis az \(\displaystyle x^3-x-a=0\) egyenletnek két megoldása van. Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle (x-b)^2(x-c)=x^3-x-a\) alkalmas \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), és \(\displaystyle c\) valós számokkal. Ebből felírható a következő egyenletrendszer:

\(\displaystyle a=-b^2c,\)

\(\displaystyle 0=2b+c,\)

\(\displaystyle -1=2bc+b^2.\)

A középső egyenletből \(\displaystyle c=-2b\), ezt az elsőbe írva \(\displaystyle a=2b^3\) és így a harmadik egyenlet \(\displaystyle -1=2b\cdot(-2b)+b^2=-3b^2\), amiből \(\displaystyle b=\pm\frac{1}{\sqrt3}\) és így \(\displaystyle a=2\cdot\left(\pm\frac{1}{\sqrt3}\right)^3=\pm2/\sqrt3\).

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó Márton, Csider Márk, Csorba Benjámin, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nagy 911 Viktória, Sudár Ákos, Tatai Mihály.
4 pontot kapott:	Balázs Ákos Miklós, Fischer Kornél, Kósa Szilárd, Tar Viktor.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai