 |
A C. 1351. feladat (2016. április) |
C. 1351. Az \(\displaystyle ABCD\) érintőtrapéz \(\displaystyle B\)-nél levő belső szöge \(\displaystyle 60^\circ\), a beírt körének érintési pontjai az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DA\) oldalakon legyenek sorban \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Jelölje \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle FG\) egyenesek metszéspontját, továbbá \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle FH\) felezőpontját. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle HE\) párhuzamos a \(\displaystyle BC\) szárral, akkor az \(\displaystyle IK\) egyenes is párhuzamos velük.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit! Mivel \(\displaystyle BC\) az egyik szár, így \(\displaystyle DCB\angle=180^{\circ}-ABC\angle=120^{\circ}\). Az \(\displaystyle AEH\angle=60^{\circ}\), mert egyállású az \(\displaystyle ABC\angle\)-gel. Mivel \(\displaystyle AH=AE\) érintőszakaszok, ezért az \(\displaystyle AEH\) háromszög egyenlőszárú, vagyis \(\displaystyle EHA\angle=HAE\angle=60^{\circ}\).
Tehát a trapéz szimmetrikus, így húrtrapéz is. A szimmetria miatt \(\displaystyle HF\) párhuzamos az alapokkal, \(\displaystyle IHK\angle=60^{\circ}\). A \(\displaystyle GFC\) háromszög egyenlőszárú a \(\displaystyle CF=CG\) érintőszakaszok miatt. Mivel a \(\displaystyle C\)-nél lévő belső szög \(\displaystyle 120^{\circ}\), ezért \(\displaystyle CFG\angle=CGF\angle=30^{\circ}\).
\(\displaystyle GFK\angle\) ez utóbbinak a váltószöge, ezért szintén \(\displaystyle 30^{\circ}\). \(\displaystyle HFI\) háromszög derékszögű, átfogójának felezőpontja \(\displaystyle K\). Ekkor \(\displaystyle IK=KH\), ezért \(\displaystyle HKI\) szabályos háromszög. \(\displaystyle HIK\angle=60^{\circ}\), ezért \(\displaystyle IK\) párhuzamos \(\displaystyle HE\)-vel és \(\displaystyle BC\)-vel.
Statisztika:
74 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 59 versenyző. 4 pontot kapott: 10 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai