A C. 1352. feladat (2016. április)

C. 1352. Egy egységnyi oldalú négyzet átlóján vegyünk fel egy egységnyi hosszúságú szakaszt, melynek végpontjaiba állított merőlegesek elmetszik a négyzet oldalait. Mennyi az így létrejött konvex hatszög területének maximális értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. \(\displaystyle AB=HE=1\) egység, \(\displaystyle AC=\sqrt2\). Így \(\displaystyle AH+EC=AC-HE=\sqrt2-1\).

A hatszög területét megkapjuk, ha az egységnégyzet területéből kivonjuk az \(\displaystyle AJI\) és \(\displaystyle CFG\) háromszögek területét. Ezért a konvex hatszög területe akkor lesz maximális, ha ezen háromszögek területének összege minimális.

Mivel \(\displaystyle IJ||DB\), ezért az \(\displaystyle AJI\) háromszög \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) csúcsánál lévő szögek 45 fokosak, a háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Hasonló okokból ugyanez igaz az \(\displaystyle FGC\) háromszögre is. Legyen \(\displaystyle AH=\frac{IJ}{2}=x\), ekkor \(\displaystyle EC=\frac{GF}{2}=\sqrt2-1-x\).

\(\displaystyle T(x)=T_{AJI}+T_{CFG}=x^2+(\sqrt2-1-x)^2=2x^2-2(\sqrt2-1)x+3-2\sqrt2=\)

\(\displaystyle =2\left(x^2-2\cdot\frac{\sqrt2-1}{2}x+\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2\right)-2\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2+3-2\sqrt2=\)

\(\displaystyle =2\left(x-\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2+\frac{3-2\sqrt2}{2}.\)

Ebből látszik, hogy a minimum helye: \(\displaystyle x_{min}=\frac{\sqrt2-1}{2}\), értéke pedig: \(\displaystyle T_{min}=\frac{3-2\sqrt2}{2}\). Ez akkor van, amikor az \(\displaystyle AJI\) és a \(\displaystyle CFG\) háromszögek egybevágóak, a trapéz pedig téglalap.

A hatszög területének maximuma:

\(\displaystyle T=1-T_{min}=1-\frac{3-2\sqrt2}{2}=\sqrt2-\frac12.\)

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balázs Ákos Miklós, Bukor Benedek, Csorba Benjámin, Dávid Levente, Demeter Gergő, Édes Lili, Fraknói Ádám, Garamvölgyi István Attila, Kamenár Gyöngyvér, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Markó Anna Erzsébet, Márton Anna, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy Nándor, Németh Csilla Márta, Paulovics Péter, Perger Kitti, Pinke Andrea, Richlik Róbert, Sal Dávid, Sántha 001 Balázs, Sebe Anna, Sudár Ákos, Szabó Alexandra, Szajkó Gréta, Szécsi Adél Lilla, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Réka , Varga 157 Kristóf, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai