A C. 1362. feladat (2016. május)

C. 1362. Egy téglatest térfogata 10,9545 cm\(\displaystyle {}^3\), az élek hosszának számtani közepe 2,2655 cm, harmonikus közepe pedig 2,1769 cm. Adjuk meg a téglatest testátlójának cm-ben mért hosszát 3 tizedesjegy pontossággal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) a téglatest oldalainak hosszát. (A mértékegységeket az egyszerűség kedvéért nem mindenhol írjuk ki.)

A térfogat: \(\displaystyle abc=10,9545\mathrm{~cm}^3\),

az élek hosszának számtani közepe: \(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}=2,2655\) cm,

harmonikus közepe pedig: \(\displaystyle \frac{3}{\frac1a+\frac1b+\frac1c}=2,1769\) cm. Mivel \(\displaystyle \frac{3}{\frac1a+\frac1b+\frac1c}=\frac{3abc}{ab+bc+ac}=\frac{3\cdot10,9545}{ab+bc+ac}\), ezért ebből \(\displaystyle ab+bc+ac=\frac{3\cdot10,9545}{2,1769}\) következik.

A második egyenletet szorozzuk be 3-mal és emeljük négyzetre: \(\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=(3\cdot2,2655)^2=46,19241225\).

A téglatest testátlója: \(\displaystyle d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} =\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}=\sqrt {46,19241225-2\cdot\frac{3\cdot10,9545}{2,1769}}\approx3,999935 \).

A téglatest testátlójának 3 tizedesjegyre kerekített értéke: \(\displaystyle d\approx4,000\) cm.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antal Márton, Csapó Márton, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Fülöp Ágota, Gera Dóra, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Lévay Mátyás, Moldován Péter, Nagy 911 Viktória, Perger Kitti, Sudár Ákos, Szabó Alexandra, Szajkó Gréta, Tatai Mihály.
4 pontot kapott:	Inges Zénó, Simon Ákos, Török Réka .

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai