A C. 1363. feladat (2016. május)

C. 1363. Egy derékszögű trapéz párhuzamos oldalai \(\displaystyle 405\) és \(\displaystyle 80\) egység hosszúságúak. A derékszögű szár hossza \(\displaystyle 65 \big(\sqrt{3}+\sqrt{2}\,\big)\) egység. A trapézt az alapokkal párhuzamos vágásokkal nyolc egymáshoz hasonló trapézra vágjuk. Mekkora a legnagyobb szelet magassága?

Javasolta: Szepesi Zoltán Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a legnagyobb trapéz hosszabbik alapja \(\displaystyle a_1\), magassága \(\displaystyle m_1\), és az egymás után következő trapézok hasonlóságának aránya pedig \(\displaystyle \lambda\), a legnagyobbtól indulva, így \(\displaystyle \lambda<1\).

A második trapéz hosszabbik alapja így \(\displaystyle a_2=\lambda a_1\), tovább haladva \(\displaystyle a_3=\lambda^2 a_1,...,a_8=λ^7 a_1\). A nyolcadik trapéz rövidebb alapja \(\displaystyle c_8=\lambda^8 a_1\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1=405\) és \(\displaystyle c_8=80\), így \(\displaystyle 80=\lambda^8\cdot405\), amiből \(\displaystyle \lambda=\root{8}\of{\frac{80}{405}}=\root{8}\of{\frac{16}{81}}=\sqrt{\frac23}\) és \(\displaystyle \lambda^8=\frac{2^4}{3^4}\).

A magasságok mértani sorozatot alkotnak. A sorozat első tagja \(\displaystyle m_1\), hányadosa \(\displaystyle \lambda\), az első 8 tag összege:

\(\displaystyle S_8=m_1\frac{1-\lambda^8}{1-\lambda}=m_1\frac{\frac{3^4-2^4}{3^4}} {\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3}}=m_1\frac{(3^4-2^4 )\cdot\sqrt3} {(\sqrt3-\sqrt2)\cdot3^4}=m_1\frac{65\cdot\sqrt3}{(\sqrt3-\sqrt2)\cdot81}. \)

Ez pedig az eredeti trapéz derékszögű szára:

\(\displaystyle m_1\frac{65\cdot\sqrt3}{(\sqrt3-\sqrt2)\cdot81}=65(\sqrt3+\sqrt2).\)

Amiből a legnagyobb szelet magassága: \(\displaystyle m_1=\frac{81}{\sqrt3}=27\sqrt3\).

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó Márton, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Gera Dóra, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Lévay Mátyás, Moldován Péter, Nagy 911 Viktória, Simon Ákos, Sudár Ákos, Szajkó Gréta, Tatai Mihály, Török Réka .

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai