 |
A C. 1364. feladat (2016. szeptember) |
C. 1364. Egy faluban polgármestert választanak. A két jelölt Károly és Sándor. A lakosok nagyon aktívak, 90%-uk elment szavazni. A szavazatokból 128 lett érvénytelen. Károlyra 248-cal többen szavaztak érvényesen, mint Sándorra. Károlyra a teljes lakosság 49%-a voksolt. Hány szavazatot kapott?
(Német versenyfeladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
I. megoldás. Legyen a falu lakóinak száma \(\displaystyle x\), ekkor Károly \(\displaystyle 0,49x\) szavazatot kapott. Sándor ennél \(\displaystyle 248\)-cal kevesebbet, ami \(\displaystyle 0,49x-248\). Ehhez hozzáadva Károly szavazatait és az érvénytelen \(\displaystyle 128\)-at, megkapjuk az összes szavazatot, ami a lakosok számának \(\displaystyle 90\%\)-a.
\(\displaystyle 0,49x-248+0,49x+128=0,9x,\)
\(\displaystyle 0,98x-120=0,9x,\)
\(\displaystyle 0,08x=120,\)
\(\displaystyle x=1500.\)
Tehát a lakosok száma 1500 és Károly \(\displaystyle 0,49\cdot 1500=735\) szavazatot kapott.
II. megoldás. Jelölje \(\displaystyle K\) a Károlyra, \(\displaystyle S\) a Sándorra leadott érvényes szavazatok számát, \(\displaystyle T\) a teljes lakosság számát, \(\displaystyle E\) pedig az érvénytelen szavazatok számát.
Mivel az érvénytelen szavazatok esetén nem beszélhetünk arról, hogy kire szavaztak, ezért \(\displaystyle K\) egyrészt \(\displaystyle T\) 49%-a, másrészt \(\displaystyle S+248.\)
A többiek száma egyrészt \(\displaystyle T\) \(\displaystyle 51\%\)-a, másrészt a 10% nem szavazók, valamint \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle E\) összege.
Tudjuk, hogy \(\displaystyle E=128\), ezért a fentiek különbségéből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle T\) 8%-a megegyezik 248 és 128 különbségével, ami 120. tehát \(\displaystyle T\) 1%-a 15, vagyis \(\displaystyle T\) 49%-a \(\displaystyle 19\cdot15=735\), ennyien szavaztak Károlyra.
Illés Márton Gábor (Miskolci Herman Ottó Gimnázium, 7. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
289 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 250 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai