A C. 1365. feladat (2016. szeptember)

C. 1365. Egy \(\displaystyle n\) oldalú szabályos sokszög oldalaira kifelé négyzeteket állítunk. A négyzetek külső csúcsai egy \(\displaystyle 2n\) oldalú szabályos sokszöget határoznak meg. Hány oldala van az eredeti sokszögnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szomszédos négyzetek azonos csúcsból induló oldalai a külső szabályos sokszög megfelelő oldalával szabályos háromszöget alkotnak, így a négyzetek oldalai \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be egymással.

Ezért a belső szabályos sokszög egy szöge:

\(\displaystyle 360^{\circ}-60^{\circ}-2\cdot90^{\circ}=120^{\circ}.\)

A belső szögek összege \(\displaystyle n\) csúcs esetén:

\(\displaystyle \left(n-2\right)\cdot180^{\circ}=n\cdot120^{\circ},\)

amiből \(\displaystyle n=6\).

Tehát az eredeti sokszög hatszög.

Statisztika:

238 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	199 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	22 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai