 |
A C. 1366. feladat (2016. szeptember) |
C. 1366. A GZs4-26-os kisbolygón élő lények hármas számrendszerben számolnak, azzal a különbséggel a nálunk megszokotthoz képest, hogy számjegyeik a \(\displaystyle \triangle\), \(\displaystyle \square\) és \(\displaystyle \bigcirc\) (valamilyen sorrendben). Tudjuk, hogy \(\displaystyle \square\square\square\cdot \triangle\triangle =\square\bigcirc\triangle\square\triangle\). Határozzuk meg a \(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot \square\bigcirc\square\triangle\) szorzás eredményét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A hármas számrendszerben mi a 0,1,2 számjegyeket használjuk. Az első szorzásból látszik, hogy a \(\displaystyle \square\) és a \(\displaystyle \triangle\) nem lehet 0, így \(\displaystyle \bigcirc=0\). Másrészt az egyes helyiértéken álló számjegyek szorzata: \(\displaystyle \square\cdot\triangle=\triangle\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle \square = 1\) és \(\displaystyle \triangle = 2\). Így az első szorzat számjegyekkel: \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3 = 10212_3\). Ezt felírva 10-es számrendszerben: \(\displaystyle 13_{10}\cdot8_{10} = 104_{10}\), ami valóban teljesül.
A kérdéses szorzat:
\(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot\square\bigcirc\square\triangle=210_3\cdot 1012_3=21_{10}\cdot 32_{10}=672_{10}=220220_3.\)
Tehát a szorzás eredménye \(\displaystyle 220220_3=\triangle\triangle\bigcirc\triangle\triangle\bigcirc\).
Megjegyzés. A sok pontlevonás az alábbi hiányosságokból adódott:
– enyhén hiányos indoklás;
– nem ellenőrizte a megoldó, hogy \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3\) valóban \(\displaystyle 10212_3\)-vel egyenlő;
– a versenyző belátta, hogy a kör csak a 0-t helyettesítheti, de ezután a maradék két eset közül csak feltételezte a későbbi jó megoldást;
– számolási hiba;
– a versenyző nem válaszolt a feladat kérdésére.
Statisztika:
362 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 172 versenyző. 4 pontot kapott: 119 versenyző. 3 pontot kapott: 39 versenyző. 2 pontot kapott: 22 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai