A C. 1374. feladat (2016. október)

C. 1374. Egy deltoid oldalainak hossza 6, illetve 8 cm, a különböző hosszúságú oldalak egymással derékszöget zárnak be. Mekkora a deltoidba írható és a deltoid köré írható körök középpontjainak a távolsága?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás:. A deltoid \(\displaystyle AC\) átlója a Pitagorasz-tétel segítségével:

\(\displaystyle AC=\sqrt{6^2+8^2}=10.\)

A deltoid köré írható kör sugara:

\(\displaystyle CO=\frac{AC}{2}=5\mathrm{~ cm}.\)

A deltoidba írható kör \(\displaystyle K\) középpontja az \(\displaystyle AC\) átló és a \(\displaystyle B\) pontból induló szögfelező metszéspontja.

A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, így

\(\displaystyle \frac{CK}{CK+KA}=\frac{CB}{CB+BA},\)

\(\displaystyle \frac{CK}{CA}=\frac{CB}{CB+BA},\)

\(\displaystyle \frac{CK}{10}=\frac{6}{6+8},\)

\(\displaystyle CK=\frac{6}{6+8}\cdot10=\frac{30}{7}=4\frac27\mathrm{~ cm}.\)

Mivel \(\displaystyle CO=5>4 \frac27\), ezért a keresett távolság: \(\displaystyle OK=CO-CK=5-4 \frac27=\frac57\) cm.

Statisztika:

298 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	159 versenyző.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai