A C. 1375. feladat (2016. október)

C. 1375. Számoljuk össze, hány olyan kétjegyű szám van az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben, melyek számjegyeinek összege is kétjegyű (az \(\displaystyle n\)-es számrendszerben). Adjuk meg az eredményt az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben 1-től felfelé számolva az első kétjegyű szám az \(\displaystyle n\), az első háromjegyű pedig az \(\displaystyle n^2\). Ezért a kétjegyű számok száma \(\displaystyle n^2-n\).

Ha egy kétjegyű szám számjegyeinek összege legalább \(\displaystyle n\) és legfeljebb \(\displaystyle n^2-1\), akkor ez az összeg \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben kétjegyű számmal írható le, egyéb esetben nem. A legnagyobb összeg, ami kétjegyű szám számjegyeinek összegeként létrejön, \(\displaystyle 2\cdot(n-1)<n^2\) (hiszen ez ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle 0<n^2-2n+2=(n-1)^2+1\)). Tehát a számjegyek összege biztosan kisebb, mint \(\displaystyle n^2\), így elég csak azt vizsgálni, hogy mikor lesz az összeg legalább \(\displaystyle n\).

Ha a kétjegyű szám első számjegye 1, akkor a második számjegy csak \(\displaystyle n-1\) lehet. Ha eggyel növeljük az első számjegyet, akkor a lehetőségek száma is eggyel nő. Ha az első számjegy a 2, akkor a második számjegy \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n-2\) lehet. És így tovább. Az első számjegy legfeljebb \(\displaystyle n-1\) lehet, ekkor a második számjegy 1-től \(\displaystyle n-1\)-ig bármelyik számjegy lehet, tehát ekkor \(\displaystyle n-1\) lehetőség van.

A keresett kétjegyű számok számát a következő (\(\displaystyle n-1\)) tagú összeg adja meg:

\(\displaystyle S=1+2+\dots+(n-2)+(n-1)=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)= \frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}.\)

Tehát a kétjegyű számok fele lesz ilyen tulajdonságú.

Ha \(\displaystyle n\) páratlan: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=n\cdot\frac{n-1}{2}\), tehát \(\displaystyle S_n=\overline{\frac{n-1}{2};0}\).

Ha \(\displaystyle n\) páros: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=n\cdot\frac{n-2}{2}+\frac n2\), tehát \(\displaystyle S_n=\overline{\frac{n-2}{2};\frac n2}\).

Az első néhány \(\displaystyle n\) esetén:

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antal Virág Anna, Apagyi Dávid, Árvai Balázs, Baski Bence, Böcskei Balázs, Csóti Kristóf, Dankowsky Anna Zóra, Keltai Dóra, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Radó Albert, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szonda Katalin, Tanács Viktória, Varga 157 Kristóf, Varga 294 Ákos, Weisz Máté, Williams Hajna, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Argay Zsolt, Csóka Zoárd, Fülöp Dorottya Száva, Gera Dóra, Kis 999 Alexandra, Lévay Mátyás, Mácz Andrea, Márki Péter, Szabó Csenge Zsófia, Szalay Máté Csongor, Turcsányi Ádám, Vincze Lilla.
3 pontot kapott:	84 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	39 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai