A C. 1380. feladat (2016. november)

C. 1380. Egy kör kerületére valamilyen sorrendben felírtunk összesen páratlan sok 0, 1-es és 2-es számjegyet, melyek közül nem mind egyforma. Egy lépés során mindegyik két, egymás mellett lévő szám közé beírjuk az összegük hármas maradékát, majd letöröljük az eredeti számokat. Előfordulhat-e az, hogy néhány lépés után a körön mind egyenlő számok lesznek?

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A számok száma a kör kerületén a lépések során nem változik. Ezt szemléletesen úgy láthatjuk be, hogy legyenek a számok először egy páratlan, n oldalú sokszög csúcsaiban, majd a közéjük írt számok a sokszög oldalélein. Ezekből is n darab van. Majd újra a csúcsain, majd az oldaléleken... Tegyük fel, hogy a végén csak 0-k lesznek a körön, míg az előző állapotban nem csupa 0 volt. Ekkor az előző állapotban nem lehet egyetlen 0 sem, mert akkor lenne 0 – 1 vagy 0 – 2 pár, amiből nem keletkezhetett volna 0. Vagyis az előző állapotban csak 1 – 2 párok lehetnek, mert a 0 – 0 páron kívül csak ezekből keletkezik 0. De ez sem lehetséges, mert páratlan sok szám van felírva a körre, így lennie kell legalább egy 1 – 1 vagy 2 – 2 párnak. Így ellentmondásra jutottunk.

Mivel 1-et csak 2 – 2 vagy 0 – 1 párból, 2-t pedig csak 1 – 1 vagy 0 – 2 párból kaphatunk, ezért hasonló gondolatmenettel beláthatjuk, hogy sem csupa 1-es, sem csupa 2-es nem keletkezhet a körön, ha az eredetileg felírt számok nem mind egyformák.

Statisztika:

195 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai