A C. 1381. feladat (2016. november)

C. 1381. Legyen az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle BC\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle AB\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle N\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle |BM|=|BN|\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Tekintsük először a Thalész köröknek a háromszög belseje felé eső félköreit. Jelölje \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle E\) pedig a \(\displaystyle C\) csúcsból induló magasságnak rendre a \(\displaystyle BC\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldallal vett metszéspontját. Mivel ekkor a \(\displaystyle D\), illetve az \(\displaystyle E\) csúcsnál jelölt szögek derékszögek, így a Thalész-tétel megfordítása szerint a két pont illeszkedik a megfelelő Thalész-körre.

A Thalész-tétel miatt az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) csúcsoknál jelölt szögek is derékszögek. A \(\displaystyle BADΔ\) és a \(\displaystyle BCEΔ\) hasonló, mivel egy-egy szögük derékszög, valamint a \(\displaystyle B\) csúcsnál található szögük közös. Emiatt a megfelelő oldalak aránya megegyezik:

\(\displaystyle \frac{EB}{BC}=\frac{BD}{AB}.\)

1. ábra

Szorozzunk be a nevezőkkel:

\(\displaystyle EB⋅AB=BD\cdot BC.\)

A derékszögű háromszögekre érvényes befogótételt írjuk fel a \(\displaystyle BMCΔ\)-re és a \(\displaystyle BNAΔ\)-re:

\(\displaystyle BM^2=BD\cdot BC,\)

\(\displaystyle BN^2=EB\cdot AB.\)

Helyettesítsük be az előző egyenlőségbe:

\(\displaystyle BN^2=BM^2, \)

amiből

\(\displaystyle BN=BM.\)

Ezzel az állítást igazoltuk.

Tekintsük most a teljes Thalész köröket a 2. ábra jelöléseit használva.

2. ábra

Ekkor mindkét magasságvonal két pontban metszi a megfelelő Thalész kört, ezek \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle M_2\), valamint \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle N_2\). A \(\displaystyle BC\) oldal fölé emelt Thalész-körnek \(\displaystyle BC\) átmérője, \(\displaystyle AD\) pedig erre merőleges szelő, így \(\displaystyle MM_2\) a \(\displaystyle BC\)-re merőleges húr. Így az \(\displaystyle M\) pont tükörképe \(\displaystyle BC\)-re az \(\displaystyle M_2\) pont.

Tehát \(\displaystyle BM=BM_2\).

Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle BN=BN_2\). Már tudjuk, hogy \(\displaystyle BN=BM\), így \(\displaystyle BN_2=BM_2=BN=BM\) is igaz.

Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Dézsi Viktória, Kocsis Júlia, Kovács 161 Márton Soma, Németh Csilla Márta, Takács 666 Réka.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai