A C. 1387. feladat (2016. december)

C. 1387. Határozzuk meg a számrendszer \(\displaystyle x\) alapját, ha teljesül az alábbi egyenlet:

\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle x\geq7\) egész szám (mivel a \(\displaystyle 6\)-os is szerepel a számjegyek között). A bal oldali számot helyiértékek szerint felírva az egyenlet így alakul:

\(\displaystyle 2x^3+x+6=x^3+2x+342.\)

Rendezve:

\(\displaystyle x^3-x=336.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=336.\)

Mivel \(\displaystyle 336=2^4\cdot3\cdot7=6\cdot7\cdot8\), azért \(\displaystyle x=7\) megoldás. Ha \(\displaystyle x>7\), akkor az \(\displaystyle (x-1)x(x+1)\) kifejezés értéke nagyobb, mint \(\displaystyle 6\cdot7\cdot8\), míg \(\displaystyle x<7\) esetén kisebb nála, tehát az \(\displaystyle x=7\) az egyetlen megoldás, ami a kezdeti feltételt is kielégíti.

Statisztika:

274 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	210 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai