 |
A C. 1389. feladat (2016. december) |
C. 1389. Melyek a közös pontjai az \(\displaystyle y={(x-1)}^2\) és az \(\displaystyle y=1-\sqrt x\) egyenletű görbéknek?
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Azokat a pontokat keressük, melyek \(\displaystyle x\) koordinátájára teljesül az alábbi egyenlet:
\(\displaystyle (x-1)^2=1-\sqrt x.\)
Mivel negatív számoknak nincs valós négyzetgyöke, így \(\displaystyle 0≤x\), másrészt az egyenlet bal oldala nem negatív, így a jobb oldalnak is annak kell lenni, így \(\displaystyle \sqrt x≤1\), vagyis \(\displaystyle x≤1\). Tehát tudjuk, hogy \(\displaystyle 0≤x≤1\).
A négyzetre emelést elvégezve, az egyenlet mindkét oldalából 1-et levonva és rendezve:
\(\displaystyle -x^2+2x=\sqrt x.\)
Mivel az \(\displaystyle x\)-re vonatkozó kikötés miatt mindkét oldal nemnegatív, ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:
\(\displaystyle x^4-4x^3+4x^2=x.\)
Bal oldalra rendezve és \(\displaystyle x\)-t kiemelve:
\(\displaystyle x\cdot(x^3-4x^2+4x-1)=0.\)
Láthatjuk, hogy \(\displaystyle x=0\) mellett \(\displaystyle x=1\) is megoldás, ezért \(\displaystyle (x-1)\) a harmadfokú tagból kiemelhető:
\(\displaystyle x\cdot(x-1)(x^2-3x+1)=0.\)
A másodfokú kifejezés akkor lesz nulla, ha \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\) vagy \(\displaystyle x_4=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Utóbbi azonban 1-nél nagyobb szám, így nem felel meg a kikötésnek.
Így a megoldások: \(\displaystyle x_1=0\), \(\displaystyle x_2=1\), \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\). Tehát három közös pontja van a görbéknek: \(\displaystyle A(0;1)\), \(\displaystyle B(1;0)\) és \(\displaystyle C\left(\frac{3-\sqrt5}{2};\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\), ugyanis
\(\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt5}{2}-1\right)^2=\frac{9-6\sqrt5+5}{4}-3+\sqrt5+1=\frac{14-6\sqrt5}{4}+\frac{-8+4\sqrt5}{4}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}.\)
Statisztika:
226 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 101 versenyző. 4 pontot kapott: 53 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 36 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai