A C. 1391. feladat (2016. december)

C. 1391. Marci születése óta minden karácsonyra annyi 32 lapos kártyapaklit kap, ahányadik karácsonyát ünnepli. Egyszer, karácsony másnapján, éppen a születésnapján úgy döntött, hogy különleges kártyavárat épít az addig kapott lapokból. A legalsó szintre 216 darab lapot rakott, majd ezután minden szintre 8-cal kevesebb került, mint az alatta levőre. Hány éves volt ekkor Marci, ha 16 szintet sikerült megépítenie?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Marci most \(\displaystyle x\) éves, így \(\displaystyle 32x\) kártyalapot kapott karácsonyra, első születésnapja előtt, karácsonykor pedig 32 lapot. Így eddig, \(\displaystyle x\) év alatt \(\displaystyle \frac{32x+32}{2}\cdot x=16x^2+16x\) kártyalap gyűlt össze. Ezekből épít kártyavárat.

Az első szinten 216 lap van, a 16. szinten \(\displaystyle 216-15\cdot8=96\). A 17. szintre 88 kártya kellene még, de annyi már nincs. Így összesen \(\displaystyle \frac{216+96}{2} 16=2496\) lapot használt fel. Lehet, hogy kimaradt még pár lap, de a 17. szint felrakásához már nem elegendő.

Ezek alapján az egyenlőtlenségek, amiket felírhatunk:

\(\displaystyle 2496≤16x^2+16x<2496+88=2584.\)

A \(\displaystyle 16x^2+16x-2496=0\) egyenletet megoldásai: \(\displaystyle x_1=-13\), \(\displaystyle x_2=12\). Így a bal oldali \(\displaystyle 0≤16x^2+16x-2496\) egyenlőtlenség megoldása \(\displaystyle x≤-13\) vagy \(\displaystyle 12≤x\).

A \(\displaystyle 16x^2+16x-2584=0\) egyenletet megoldásai: \(\displaystyle x_1≈-13,22\), \(\displaystyle x_2≈12,22\).

Így a jobb oldali \(\displaystyle 16x^2+16x-2584<0\) egyenlőtlenség megoldása (felhasználva, hogy \(\displaystyle x\) egész szám):

\(\displaystyle -13≤x≤12.\)

A kettőt összevetve és figyelembe véve, hogy \(\displaystyle x\) pozitív, \(\displaystyle x\) értéke csak 12 lehet.

A 12 év alatt összegyűlt kártyák száma: \(\displaystyle 16\cdot12^2+16\cdot12=2496\), ami pont elegendő volt a 16 szint megépítéséhez.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dombóvári Gergely, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Nagy Enikő, Németh Csilla Márta, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Szécsi Adél Lilla, Takács 666 Réka, Tulipán Levente, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Antal Georgina, Édes Lili, Horváth 546 János, Jámbor Lili, Kocsis Ábel, Komoróczy Ádám, Novák Márk, Ondrik Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Wolff Vilmos.
3 pontot kapott:	65 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai