A C. 1393. feladat (2017. január)

C. 1393. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan háromszög, melynek magasságai 20, 17 és 9 cm.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen háromszög. Ekkor a háromszög területét háromféleképpen felírva:

\(\displaystyle T=\frac{a\cdot m_a}{2}=\frac{b\cdot m_b}{2}=\frac{c\cdot m_c}{2}.\)

Ezekből fejezzük ki az oldalakat: \(\displaystyle a=\frac{2T}{m_a}\), \(\displaystyle b=\frac{2T}{m_b}\), \(\displaystyle c=\frac{2T}{m_c}\).

Írjuk fel a háromszög oldalaira a háromszög-egyenlőtlenséget: \(\displaystyle a+b>c\).

Az előbb kapott képleteket beírva és a \(\displaystyle T>0\) területtel osztva:

\(\displaystyle \frac{2T}{m_a} +\frac{2T}{m_b} >\frac{2T}{m_c},\)

\(\displaystyle \frac{1}{m_a} +\frac{1}{m_b} >\frac{1}{m_c}.\)

Legyen most a három magasság \(\displaystyle m_a>m_b>m_c\). Az adott értékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}>\frac 19.\)

Ez az egyenlőtlenség azonban nem teljesül, ugyanis

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}=\frac{153}{3060}+\frac{180}{3060}=\frac{333}{3060}<\frac{340}{3060}=\frac 19.\)

Tehát az adott magasságokkal nem szerkeszthető háromszög.

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai