A C. 1403. feladat (2017. február)

C. 1403. Egy \(\displaystyle n\) elemű halmaznak feleannyi \(\displaystyle k-1\) elemű részhalmaza van, mint \(\displaystyle k\) elemű, és \(\displaystyle \frac 74\)-szer annyi \(\displaystyle k + 1\) elemű részhalmaza van, mint \(\displaystyle k\) elemű. Határozzuk meg a halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak számát.

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy \(\displaystyle n\) elemű halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk\).

Így a feladat két állítása alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 2\cdot\binom{n}{k-1}=\binom nk,\)

\(\displaystyle \frac 74\cdot\binom nk=\binom{n}{k+1}.\)

Kifejtve a képleteket:

\(\displaystyle \frac{2n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!},\)

\(\displaystyle \frac74\cdot\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}.\)

Egyszerűsítve:

\(\displaystyle \frac{2}{n-k+1}=\frac1k,\)

\(\displaystyle \frac74\cdot \frac{1}{n-k}=\frac{1}{k+1}.\)

Átszorozva és rendezve az egyenleteket:

\(\displaystyle 3k-1=n,\)

\(\displaystyle 11k+7=4n.\)

Az \(\displaystyle n\) értékét az első egyenletből beírva a másodikba:

\(\displaystyle 11k+7=12k-4,\)

\(\displaystyle k=11,\)

\(\displaystyle n=3k-1=32.\)

A halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk=\binom{32}{11}=129\,024\,480\).

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	118 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai