A C. 1407. feladat (2017. március)

C. 1407. Vegyük fel az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AD\) oldalán az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle DC\) oldalán az \(\displaystyle N\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle \frac{AM}{MD}=\frac{DN}{NC}=\frac{7}{11}\) legyen. A \(\displaystyle BM\) és \(\displaystyle AN\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle P\).

Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle APB\) háromszög és a \(\displaystyle DMPN\) négyszög területe egyenlő.

Longáver Lajos (Nagybánya) feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Mivel \(\displaystyle \frac{MD}{AM}=\frac{NC}{DN}=\frac{11}{7}\) és \(\displaystyle AD=AM+MD\) és \(\displaystyle DC=DN+NC\), így \(\displaystyle AD=AM+\frac{11}{7} AM=\frac{18}{7} AM\), valamint \(\displaystyle DC=DN+\frac{11}{7} DN=\frac{18}{7} DN\). Ebből \(\displaystyle AM=\frac{7}{18} AD\) és \(\displaystyle DN=\frac{7}{18} DC\).

\(\displaystyle T_{ABMΔ}=\frac{AB\cdot AM\cdot \sinα}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AB\cdot AD\cdot \sinα}{2},\)

\(\displaystyle T_{ADNΔ}=\frac{AD\cdot DN\cdot \sin⁡(π-α)}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AD\cdot DC\cdot \sinα}{2}.\)

Mivel a paralelogrammában \(\displaystyle AB=DC\), ezért \(\displaystyle T_{ABMΔ}=T_{ADNΔ}\). Így \(\displaystyle T_{APBΔ}=T_{ABMΔ}-T_{AMPΔ}=T_{ADNΔ}-T_{AMPΔ}=T_{DMPN}\). Tehát \(\displaystyle T_{APBΔ}=T_{DMPN}\).

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	84 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai