A C. 1411. feladat (2017. március)

C. 1411. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szög van. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle D\) pontjára \(\displaystyle CD\) szögfelező, akkor

\(\displaystyle \frac{1}{CD}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}. \)

Fülöp Dóra (Pécs)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva: \(\displaystyle T_{ABCΔ}=T_{ACDΔ}+T_{BCDΔ}\).

A háromszög trigonometrikus területképletét használva:

\(\displaystyle \frac{AC\cdot BC\cdot\sin120°}{2}=\frac{AC\cdot CD\cdot\sin⁡60°}{2}+\frac{CD\cdot BC\cdot\sin60°}{2}.\)

\(\displaystyle \sin60°=\sin(180°-60°)=\sin⁡120°\). Ezzel leegyszerűsítve és kettővel beszorozva az egyenlet mindkét oldalát:

\(\displaystyle AC\cdot BC= AC\cdot CD+CD\cdot BC.\)

Jobb oldalon CD-t kiemelve:

\(\displaystyle AC\cdot BC= CD\cdot(AC+BC).\)

Mindkét oldalt leosztva a pozitív \(\displaystyle CD\)-vel és \(\displaystyle AC\cdot BC\)-vel:

\(\displaystyle \frac{1}{CD}=\frac{AC+BC}{AC\cdot BC}=\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}.\)

A kívánt egyenletet kaptuk.

Mácz Andrea (Szekszárdi Garay János Gimnázium), 12. évf. dolgozata alapján

Statisztika:

49 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Demeter Bianka Vivien, Édes Lili, Horváth 31 László, Horváth Dávid, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Mácz Andrea, Magyar 257 Boglárka, Nagy 911 Viktória, Nagy Enikő, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pap-Takács Noémi, Pszota Máté, Repovszki Virág, Rittgasszer Ákos, Sántha 001 Balázs, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Botond, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Ujhelyi Fanni, Varga 274 Tamás, Vezse Botond, Wolff Vilmos, Zeller Doroti, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Kovács 526 Tamás, Perényi Gellért, Simon Ákos, Szabó Dorottya.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai