A C. 1418. feladat (2017. április)

C. 1418. Hat egymást követő egész számról a következő érdekességet fedeztük fel: a számok összege prím és ugyanezen számok négyzeteinek összege is prím. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú számhatost.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az első számot \(\displaystyle a\), így az egymás követő hat egész szám összege:

\(\displaystyle a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5=6a+15.\)

Ez egyenlő egy \(\displaystyle p\) prímszámmal:

\(\displaystyle 6a+15=p.\)

A baloldali összegből kiemelhetünk hármat:

\(\displaystyle 3(2a+5)=p.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle p\) osztható 3-mal. Az egyetlen 3-mal osztható prímszám a 3, tehát \(\displaystyle 2a+5=1\), amiből \(\displaystyle a=-2\).

Tehát pontosan akkor lesz 6 egymás követő egész szám összege prím, ha ez a 6 szám a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\). Írjuk fel ennek a 6 számnak a négyzetösszegét, hogy ellenőrizzük, ez is prímszámot ad-e:

\(\displaystyle (-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=19.\)

A 19 is prímszám, tehát a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) számok kielégítik a feladat feltételeit, és ez az egyetlen ilyen tulajdonságokkal rendelkező számhatos.

Mácz Andrea (Szekszárdi Garay János Gimn., 12.évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Bukovenszki Réka, Bunda Boldizsár, Édes Lili, Kádár Bálint, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Mácz Andrea, Magyar 257 Boglárka, Nagy Enikő, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Simon Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Czakó Dorina, Kovács 526 Tamás, Perényi Gellért, Sipos Fanni Emma, Szőnyi Laura, Tatai Mihály, Wolff Vilmos.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai