A C. 1420. feladat (2017. május)

C. 1420. Egységnyi oldalú szabályos háromszög súlypontja körül kört rajzolunk, amelynek kerületéből ugyanakkora rész esik a háromszögön kívül, mint azon belül. Mekkora a kör sugara?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel a kör középpontja a háromszög \(\displaystyle S\) súlypontja, így a háromszög súlyvonalai a kör és a háromszög közös szimmetriatengelyei.

A \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle FG\) és \(\displaystyle HI\) ívek páronként egymás tükörképei, ezért egyenlők. Mivel együtt a kör kerületének felét adják ki, így összesen \(\displaystyle 180°\) középponti szög tartozik hozzájuk, vagyis egyenként \(\displaystyle 60°\).

Ugyanez igaz az \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle GH\), \(\displaystyle ID\) ívekre is.

Ezért a \(\displaystyle DES\), \(\displaystyle EFS\), ..., \(\displaystyle IDS\) szabályos háromszögek, mert két oldaluk \(\displaystyle r\) hosszú, a közbezárt szög pedig \(\displaystyle 60°\). Tehát \(\displaystyle ID=DE=EF=r\).

Az \(\displaystyle ADI\) és \(\displaystyle EBF\) háromszögek is szabályosak, mert a szimmetria miatt \(\displaystyle AD=AI\), \(\displaystyle BE=BF\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsoknál lévő szög \(\displaystyle 60°\).

Ezért \(\displaystyle ID=AD=DE=EB=EF=r\), vagyis \(\displaystyle AB=AD+DE+EB=3r=1\), tehát \(\displaystyle r=\frac13\).

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Acs Imre, Andó Viola, Balog 518 Lóránd, Baski Bence, Böcskei Balázs, Bukor Benedek, Csécsi Marcell, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Gálffy Veronika, Hámori Janka, Harmath Eszter, Hervay Bence, Horváth 999 Anikó, Jankovits András, Kalabay László, Kertész Ferenc, Kószó Máté József, Makovsky Mihály, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 09 Bernadett, Nagy Csaba Jenő, Németh Ábel, Országh Anna, Pálvölgyi Szilveszter, Sebe Anna, Varga 294 Ákos, Vida Tamás, Weisz Máté, Williams Hajna.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai