A C. 1423. feladat (2017. május)

C. 1423. Adott a síkon öt különböző kör, amelyek közül bármelyik négynek van közös pontja. Mutassuk meg, hogy van olyan pont, amelyen mind az öt kör áthalad.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a körök közül bármelyik négynek van közös pontja, ezért bármelyik kettőnek is van. Mivel különbözőek, ezért bármely kettőnek egy vagy két közös pontja van. Jelölje a köröket \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\) és \(\displaystyle k_5\). A feltétel szerint van közös pontja a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\); a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_5\); illetve a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_4\), \(\displaystyle k_5\) köröknek. Mivel a \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) kör mind a három körnégyesben szerepel, ezért ezek közül a közös pontok közül kettő biztosan megegyezik, ez viszont azt jelenti, hogy valamelyik két pontnégyesnek a fentiek közül ugyanaz a közös pontja van, így ezen a ponton mind az öt kör áthalad.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	58 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai