A C. 1424. feladat (2017. május)

C. 1424. Mi az \(\displaystyle x\longmapsto\frac{16x^2-96x+153}{x-3}\) függvény értékkészletének legkisebb pozitív értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Alakítsuk a számlálót teljes négyzetté:

\(\displaystyle \frac{16x^2-96x+153}{x-3}=\frac{16(x-3)^2+9}{x-3}.\)

A függvény legkisebb pozitív értékét keressük. A számláló mindig pozitív, a tört értéke akkor lesz pozitív, ha a nevezője is pozitív, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x>3\).

Tagonként leosztva a nevezővel:

\(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}=16(x-3)+\frac{9}{x-3}.\)

Ennek a függvénynek a minimumát keressük, ha \(\displaystyle x>3\).

Mindkét tag pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac12\left(16(x-3)+\frac{9}{x-3}\right)≥\sqrt{16(x-3)\cdot\frac{9}{x-3}}=\sqrt{16\cdot9}=12.\)

Vagyis \(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}≥24\).

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha \(\displaystyle 16(x-3)=\frac{9}{x-3}=12\), amiből \(\displaystyle x=3,75\).

Tehát a függvény legkisebb pozitív értéke 24, amit \(\displaystyle x=3,75\)-nél vesz fel.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai