A C. 1425. feladat (2017. május)

C. 1425. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög derékszögű csúcsa \(\displaystyle C\), izogonális pontja (lásd pl.: https://hu.wikipedia.org/wiki/Izogon%C3%A1lis_pont) \(\displaystyle I\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle IC=12\) mm és \(\displaystyle IB=16\) mm. Adjuk meg az \(\displaystyle IA\) szakasz hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a háromszög derékszögű, így nem lehet \(\displaystyle 120°\)-nál nagyobb szöge, ezért az izogonális pontból mindhárom oldal \(\displaystyle 120°\)-os szögben látszik: \(\displaystyle AIB∡=BIC∡=AIC∡=120°\).

Legyen \(\displaystyle IA=x\). Alkalmazzuk a koszinusz tételt a részháromszögekre, felhasználva, hogy \(\displaystyle \cos 120°=-\frac12\).

\(\displaystyle BC^2=16^2+12^2-2\cdot16\cdot12\cdot-\frac12=592,\)

\(\displaystyle AC^2=12^2+x^2-2\cdot12\cdot x\cdot-\frac12=x^2+12x+144,\)

\(\displaystyle AB^2=16^2+x^2-2\cdot16\cdot x\cdot-\frac12=x^2+16x+256.\)

Alkalmazzuk az ABC háromszögre a Pitagorasz-tételt:

\(\displaystyle AB^2=BC^2+AC^2.\)

A koszinusz tételekből kapott eredményeket behelyettesítve:

\(\displaystyle x^2+16x+256=592+x^2+12x+144.\)

Ezt rendezve \(\displaystyle 4x=480\), amiből \(\displaystyle x=120\). Tehát \(\displaystyle IA=120\) mm hosszú.

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Édes Lili, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Magyar 257 Boglárka, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Sipos Fanni Emma, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szőnyi Laura, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Mácz Andrea.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai